탐구이유: 진로를 위해 캐드에 관하여 관심을 가지고 살펴보던 중 캐드에서 곡선을 간단하게 컴퓨터에 구현하기 위해 등장한 베지에 곡선을 활용하고 있다는 것을 알게 되었다. 하지만 베지에 곡선의 활용 범위에 한계가 있다는 것을 알게 되고 현대에 들어서는 곡선을 어떻게 구현하고 있는지에 대해 탐구해보고자 함.
1.서론
–베지에 곡선
-1960년대에 피에르 베지에에 의해 확립된 곡선
-몇 개의 점으로 곡선을 특정할 수 있어 컴퓨터에 곡선을 구현하는데 유용하게 활용됨
-기하 교과서 개념(평면벡터, 내분 등을 활용하여 작도 원리 증명 가능)
-베지에 곡선 작동 방법 및 프로그램 활용을 통한 체험(2차 베지에 곡선)
-하지만 곡률의 급격한 변화가 위치 벡터의 이계도함수(가속도)를 불연속하게 만들며, 결과적 으로 Jerk(가속도 충격)와 기계적 진동을 유발하게 됨
2.본론
–클로소이드 곡선
-곡선의 길이에 따라 곡률이 선형적으로 변하는 곡선
-지오지브라클래식을 활용한 곡선 구현(프레넬 적분 함수 살짝 활용)
-가속도의 변화율인 Jerk가 상수(Constant)가 되어 동적 부하를 최소화함
-(자동차 커브길, 철도, 롤러코스터 등에서 구심가속도로 인한 사고를 해결하기 위해서도
활용됨)
-CAD 설계 품질 등급
-CAD의 정의 및 활용 소개(왜 곡률이 부드러운 곡선이 필요한가)
-G0(위치), G1(접선), G2(곡률)의 등급 설명
-그럼에도 클로소이드 대신 베지에 곡선을 활용하는 이유
-복잡한 클로소이드 수식(지오지브라에서 구현 오류 경험 등)보다 고차원 베지에 곡선(더 섬 세한 곡선 표현 가능)을 사용하는게 더 실용적임(클로소이드 곡선이 이상적이지만, 현실적으 로 효율이 좋지 않아 고차원 베지에 곡선을 활용함)
- 로그 미학 곡선
-클로소이드를 일반화한 최신 기하학 모델
-기존 G2등급을 넘어 곡률의 변화율까지 연속적인 G3등급을 구현하고자 함
-클로소이드 곡선(a=-1), 로그 나선(a=1), 인볼류트(a=2)와 같이 과거 수1에서 탐구하였던 곡선 또한 하나의 수식으로 통합됨을 확인함
3. 결론
-캐드에서 클로소이드 곡선 대신에 베지에 곡선을 쓰는 이유가 ~~~임을 알게 되었다.
이를 통해 ~을 깨달았다
-기하학적 최적화가 단순 미적인 요소를 위해 쓰이는 것이 아니라, 우리 일상 속 배경에서 가속도 충격(jerk)을 최소화하고 기계시스템의 안정성과 하드웨어의 한계를 극복하는데에 활용되고 있음을 깨달음. 이른 통해 컴퓨터의 백엔드를 다루는 프로그래머처럼 눈에 보이지 않느데어서 일상에(인간에게) 기여하는 수학(물리학)의 존재에 관해 확인하게 되었다.