Ⅱ. 미적분과 공학(본론3)
–미적분을 응용한 최적설계
미분과 적분은 공학 분야에서도 아주 핵심적으로 사용되고 있는데, 그중에서 최적설계에서 어떻게 활용되는지 알아보고자 한다.
최적설계(Design optimization)란 설계를 할 때 원하는 성능지표를 수식화한 후 지표가 최대화 혹은 최소화 된 최적화 설계안을 찾아가는 기법이다. 우리가 작은 캔을 설계하는 것부터 의자, 자동차, 건축물, 최적의 경로를 설계하는 것도 모두 최적설계의 결과물이라 할 수 있는데, 이때 우리가 신경써야 할 것은 크게 3가지이다. 바로 objective(목적), variables(변수), constraints(제약)가 그것인데 예를 들어보겠다. 만약 내가 참치캔을 설계를 하려고 한다면 우리는 최소의 생산비용이라는 목적과 반지름 또는 높이라는 변수, 그리고 제한된 용량과 안전성 등의 제약을 가지게 된다. 이때 목적 못지않게 중요한 것이 제약(constraints)이라고 생각하는데, 애초에 최적화는 우리가 주어진 범위에서 함소의 최솟값, 최댓값을 구했듯이 ‘주어진 조건 안에서 최소, 최대의 값을 구하는 것이라고 생각하기 때문이다.
이제 본론으로 넘어가자. 앞서 언급한 최적설계가 정말 현실에서 이루어지고 알아보기 위해 간단한 미분을 통해 수치를 구할 수 있는 음료수캔으로 직접 최적설계를 해보고 이를 실제 음료수캔과 비교하여 보는 시간을 가질 것이다.
우선 음료수캔의 용량이 다양한 만큼 가장 흔한 ’표준캔‘으로 여겨지는 12온스의 355ml를 기준으로 할 것이며, 그렇기에 단위는 1ml=1cm³ 변환관계에 따라 355cm³으로 변환하여 사용할 것이다. 하지만 캔 안에 음료수가 꽉 차는 경우는 비현실적이기에, 370ml라는 임의의 부피를 가정하고 구해보겠다.
우리의 objective(목적)는 비용 최소화이며 variables(변수)는 r,h이고 constraints(제약)은 370ml를 만족하는 것으로 하겠다. 음료수캔이 완전한 원통형이라 가정하고 높이를 h, 반지름을 r이라 하면 최소의 비용을 만족하기 위해선 음료수캔의 겉넓이가 최소가 되어야 하므로 겉넓이(A)= 밑면+윗면+옆면에서
A=2πr²+2πrh이다. r에 대한 식으로만 표현하려면 h를 r에 대한 식으로 만들어야 하고 이때 부피가 일정하므로 πr²h=370cm³, 즉 h= cm³이다. h를 대입하면
A(r)=2πr²+ 이다.
겉넓이 A(r)에 대한 함수의 개형은 이러하며 3과 4 어딘가에 최적의 r이 위치해 있음을 육안으로 알 수 있다. 이제 저 지점을 정확히 구하기 위하여 Aʹ(r)을 구해보면 Aʹ(r)=4πr- 이다. 여기서 나의 지식이 얼마나 편협한 지 알 수 있었는데, x
~x
과 같은 건 잘 미분할 수 있었지만, x
과 같이 계수가 음수인 항에 대해선 미분을 하지 못하는 것이었다. 그러나 답은 간단했다. 우리는 이미
이라는 것을 알고 있다. 그러므로 740
을 미분하면 당연히 -1
이 나오는 것이다. 때론 이전의 개념을 되돌아보는 것이 앞으로 나아갈 길이 되어주기도 하는 것 같다. 어쨌든 그럼 Aʹ(r)=0이 되는 지점이 우리가 찾는 극값이므로 Aʹ(r)=4πr-
=0에서 r³=
가 나오므로 r
3.89cm가 나온다.
따라서 h= cm³에서 h
7.78cm가 나오는데, 이는 r:h
1:2임을 보여준다.
이제 실제 상품에서 이 값이 사용되는지 알아보기 위해 근처 편의점에서 355ml짜리 음료를 구매하여 보았다. 같은 355ml라도 그 모양이 달라 대표적인 것 두 가지를 구매하였다. 사진1의 웰치스 그레이프맛과 사진2의 핫식스 더 킹 크러쉬 피치를 준비하였다.
두 음료의 내부 부피를 직접 자를 이용해 구해보았는데, 웰치스의 경우는 반지름 3.25cm에 높이 약 11.5cm이고 핫식스는 반지름 2.9cm에 높이가 약 14.5cm였다. 실제로 찾아보면 나오는 값과 차이가 있을 수 있는데, 그 이유는 내부 부피를 구한 것이기 때문이다. 분명히 반지름 3.89cm에 높이 7.78cm가 최소비용으로 제작할 수 있는 가장 이상적인 수치인데 실제 음료에서는 왜 차이가 있을까? 혹시 임의로 설정한 370ml라는 부피가 문제인 건 아닐까? 실제 두 음료의 내부 부피는 381.4ml, 382.9ml이며 약 10ml정도 차이가 나기는 한다. 하지만 높이가 거의 두 배 차이가 날 이유로는 적합하지 않은 듯 하다. 해답은 바로
constraints(제약)에 있었다. 처음 나는 제약을 설정할 때 370ml의 부피를 만족하는 것이라고 하였다. 하지만 기업은 생산 비용 절감 뿐 아니라 고객의 만족감 또한 충족시켜야 한다. 생각해보면 반지름:높이가 1:2가 되도록 만든다는 것은 곧 가로의 길이와 세로의 길이가 거의 동일하게 만든다는 것이고, 즉 예상할 수 있듯이 한 손으로 잡기에는 상당히 불편하다. 따라서 우리는 constraints(제약)에 부피 뿐 아니라 소비자가 사용하기 적합한가?(외관, 그립감, 재료 등) 또한 포함했어야 했던 것이다.
Ⅲ. 탐구 결과
–결론 도출 및 소감
이번 활동에서는 미적분의 발전 양상과 ‘최적설계‘라는 공학도구에서 어떻게 활용되는지 알아보는 시간을 가졌다. 최적설계 탐구에서는 당연히 최소비용이 되는 규격으로 음료수캔이 구성될 것이라 생각하고 이를 직접 구해보는 탐구를 하려고 했으나, 현실은 높이 값이 거의 두 배가 차이날 정도로 차이가 큰 것을 보고 constraints(제약)이 최적의 설계에서 얼마나 큰 비중을 차지하고 있는지 느껴볼 수 있는 시간이 되었다. 만약 음료수캔과 직접 비교하는 과정이 없었더라면 이런 큰 깨달음을 얻지 못한 체 그저 식을 세워 함수의 극값을 찾아내는 단순한 활동으로 그쳤을지 모르겠지만, 이런 사소한 노력 하나로 훨씬 더 많은 것들을 얻어낼 수 있어 뿌듯하였다. 자연과학이 새로운 발견을 해 나아가는 것이라면, 공학은 정해진 한계 내에서 최적의 발명을 해내는 것이라고 생각한다. 세상에 그냥 그렇게 설계된 제품은 존재하지 않는다. 모두 누군가의 엄청난 연구와 노고가 담긴 당대의 최고의 결과물들이었던 것이다. 이런 점들을 항상 기억하며 공학자라는 나의 꿈을 키워나가야겠다. 이후 음료수캔이 왜 원기둥일까에 대한 의문이 들어 살짝 탐구해 보았더니 이또한 최소한의 비용과 관련이 있었다. 두루마리 휴지, 비누 등에도 이러한 비밀이 있다는데 다음번에 탐구해도 좋을 듯하다.
Ⅳ 참고 문헌
-자료 출처
1. 이진경『수학의 몽상』휴머니스트 2015년
2. 인은경 『실생활 문제를 수학적 모델링을 통한 미분 지도에 관한 연구』석사학위 논문 인하대학교 교육대학원 2010년
3. 나가노 히로유키 『물리가 쉬워지는 미적분』위정훈 역 비전코리아 2018
4. “최적설계: Introduction“ -KAIST 스마트설계연구실 (강남우 교수)
5. ”음료수 캔 높이의 비밀을 아시나요?“ -특허청
https://m.blog.naver.com/moipkorea/221232013157
6. 음료 이미지: 핫식스-롯데칠성음료, 웰치스-농심