탐구이유: 곡선을 간단하게 컴퓨터에 구현하기 위해 등장한 베지에 곡선에 대해 탐구하던 중 활용 범위에 한계가 있다는 것을 알게 되고 현대에 들어서는 곡선을 어떻게 구현하고 있는지에 대해 탐구해보고자 함.
1.서론
-베지에 곡선
-1960년대에 피에르 베지에에 의해 확립된 곡선
-몇 개의 점으로 곡선을 특정할 수 있어 컴퓨터에 곡선을 구현하는데 유용하게 활용됨
-기하 교과서 개념(평면벡터, 내분 등을 활용하여 작도 원리 증명 가능)
-베지에 곡선 작동 방법 및 프로그램 활용을 통한 체험(2차 베지에 곡선)
-하지만 곡률의 급격한 변화가 위치 벡터의 이계도함수(가속도)를 불연속하게 만들며, 결과적 으로 Jerk(가속도 충격)와 기계적 진동을 유발하게 됨
2.본론
-클로소이드 곡선
-곡선의 길이에 따라 곡률이 선형적으로 변하는 곡선
-지오지브라클래식을 활용한 곡선 구현(프레넬 적분 함수 살짝 활용)
-가속도의 변화율인 Jerk가 상수(Constant)가 되어 동적 부하를 최소화함
-(자동차 커브길, 철도, 롤러코스터 등에서 구심가속도로 인한 사고를 해결하기 위해서도
활용됨)
-CAD 설계 품질 등급
-CAD의 정의 및 활용 소개(왜 곡률이 부드러운 곡선이 필요한가)
-G0(위치), G1(접선), G2(곡률)의 등급 설명
-그럼에도 클로소이드 대신 베지에 곡선을 활용하는 이유
-복잡한 클로소이드 수식(지오지브라에서 구현 오류 경험 등)보다 고차원 베지에 곡선(더 섬 세한 곡선 표현 가능)을 사용하는게 더 실용적임(클로소이드 곡선이 이상적이지만, 현실적으 로 효율이 좋지 않아 고차원 베지에 곡선을 활용함)
- 로그 미학 곡선
-클로소이드를 일반화한 최신 기하학 모델
-기존 G2등급을 넘어 곡률의 변화율까지 연속적인 G3등급을 구현하고자 함
-클로소이드 곡선(a=-1), 로그 나선(a=1), 인볼류트(a=2)와 같이 과거 수1에서 탐구하였던 곡선 또한 하나의 수식으로 통합됨을 확인함
3. 결론
-기하학적 최적화가 단순 미적인 요소를 위한 것이아닌 우리 일상속에서 가속도 충격(jerk)을 최소화하고 기계시스템의 안정성과 하드웨어의 한계를 극복하는데에 활용되고 있음을 깨달음.